Wolfram Mathematica | Математика - [38] :: Программы :: Компьютерный форум Ru.Board

r_green
ну моё понимание, призванное чисто для запоминания чокак: когда мы расклодывам полином в факторизованную форму через его корни в виде, что вы представили (x - x1)*(x - x2)*.... мы должны найти корни, потому что именно они должны развалить полином в ряд менее толстых, каждый из которых в уравнении "полином = 0" будет, из-за нуля, решаться совершенно независимо. Т.е., если говорить физическим уже языком, матрицы систем, которые приведут к таким полиномам, будут иметь блок-диагональную форму, где каждая блок-подматрица будет ответственна за отдельную скобку (x - xN) менее толстого полинома. т.е. развалятся на совершенно независимые подсистемы и могут быть исследованы раздельно. Это - весомое упрощение, следствие упрощение мат. задачи.

Я отвлёкся, как всегда. Теперь, чем в сущности являются эти x1, x2, ..., xN корни полинома? Они должны иметь определённые симметрии, т.е. укладываться в некоторое "числовое поле" (number field), по которому "растягивается" (я не знаю точной русской терминологии, сори) полином. В математике, например, посмотрите пример на Factor[..., Extension->...], вот Extension задаёт как раз "поле", по которому растягивается полином. Причём оно совсем неочевидное, и когда в поле нецелые числа, Factor по умолчанию не может развалить толстоту полинома - ему нужно конкретно указывать поле коэффициентов. А в смысле общего разложения любого полинома такое поле как раз и будет состоять из вычисленных корней. Ровно то, что вы получили для кубики выше - огромные выражения.

Вот. Теперь возвращаемся в исходную точку: т.е. получается, что чтобы упростить толщину полинома, нужно найти это поле. Ровно этим и занимаются поля Галуа и в той задаче о решении квинтики по линкам, составлен конвейер, алгоритм решения, где первым делом определяется группа симметрии заданного полинома. Когда она найдена, выбирается уже более известный метод решения (зачёркнутое неверно для решения общей квинтики, нередуцируемой, а относится к её редукции до низших порядков, где после выяснения группы симметрии решается ур-ние менее, чем 5-го порядка - это другое). Детали я не знаю и даже не хочу знать. Самое важное для меня - это принцип, концепция, и тут она заключается именно в нахождении этих "полей корней", насколько я понимаю. И по дороге этих рассуждений, становится понятно, почему любой способ получения решения не сможет как-то избежать проблем квинтики - я не математик, для меня это было далеко неочевидно. Но через пропы и обозрение результатов, я вижу, что всё сходится к одному и тому же - поиску корней, а для квинтики их уже не найти, поэтому должны применяться другие методы и вместо простого метода генерации числового поля (как в вашей ф-ции factor[...] - универсальном методе решения полиномиальных ур-ний), эти поля должны находиться из других соображений (анализ симметрий полинома и т.п.). Вот эти соображения - и есть суть теории полей Галуа и прочих преобразований, упомянутых в скриптах у них. Сначала делается каскад сворачивающих преобразований, получается решение для определённой формы полинома, потом разворачивающие преобразования, чтобы прочесть ответ.

Цитата:

Привлекая википедию, понял только, что корни эти выражаются через корни других, специальных полиномов той же 5-й степени, но которые, в свою очередь, выражаются через ряд хорошо изученных спецфункций.

ммм... по-моему нет, не спецфункций. Я могу быть сильно неправ, но спецфункции обычно возникают при интегрировании дифуров: ф-ции Бесселя, сферические гармоники и пр. Может не все, не знаю, но в процессе (аналитических) тестов никаких спец. функций из решения не вылезало. В сущности сами корни - это нечто геометрической природы, это точки пересечений, т.е. у них никогда не бывает распределений - это точки, - а спец. функции (обязательно?) завязаны на интегрирование какой-нибудь ф-ции распределения. Есть более или менее универсальные спец. функции, как например ф-ции Бесселя вылазиют как решение дифуров в цилиндрических координатах сразу, а римана дзета - как решение целого класса задач (но я не знаю, носит ли она интегральный хар-тер и дифференциально-уравненного ли типа задачи, которые она решает).

Модерирует : gyra, Maz
Версия для печати • Подписаться • Добавить в закладки
Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57